Algebra Beispiele

$(- 3 + 2 i \sqrt{48}) (- 5 - 4 i \sqrt{12})$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$(- 3 + 2 i \sqrt{16 (3)}) (- 5 - 4 i \sqrt{12})$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(- 3 + 2 i \sqrt{4^{2} \cdot 3}) (- 5 - 4 i \sqrt{12})$

Schritt 1.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(- 3 + 2 i (4 \sqrt{3})) (- 5 - 4 i \sqrt{12})$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$(- 3 + 8 i \sqrt{3}) (- 5 - 4 i \sqrt{12})$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$(- 3 + 8 i \sqrt{3}) (- 5 - 4 i \sqrt{4 (3)})$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(- 3 + 8 i \sqrt{3}) (- 5 - 4 i \sqrt{2^{2} \cdot 3})$

Schritt 1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$(- 3 + 8 i \sqrt{3}) (- 5 - 4 i (2 \sqrt{3}))$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$(- 3 + 8 i \sqrt{3}) (- 5 - 8 i \sqrt{3})$

Schritt 2

Multipliziere $(- 3 + 8 i \sqrt{3}) (- 5 - 8 i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (- 5 - 8 i \sqrt{3}) + 8 i \sqrt{3} (- 5 - 8 i \sqrt{3})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cdot - 5 - 3 (- 8 i \sqrt{3}) + 8 i \sqrt{3} (- 5 - 8 i \sqrt{3})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 \cdot - 5 - 3 (- 8 i \sqrt{3}) + 8 i \sqrt{3} \cdot - 5 + 8 i \sqrt{3} (- 8 i \sqrt{3})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$15 - 3 (- 8 i \sqrt{3}) + 8 i \sqrt{3} \cdot - 5 + 8 i \sqrt{3} (- 8 i \sqrt{3})$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$15 + 24 (i \sqrt{3}) + 8 i \sqrt{3} \cdot - 5 + 8 i \sqrt{3} (- 8 i \sqrt{3})$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 8 i \sqrt{3} (- 8 i \sqrt{3})$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $8 i \sqrt{3} (- 8 i \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $8$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 3.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Schritt 3.1.4.7

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Schritt 3.1.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Schritt 3.1.4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} - 64 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 3.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 \cdot 3^{1}$

Schritt 3.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 64 \cdot 3$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$15 + 24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 192$

Schritt 3.2

Addiere $15$ und $192$ .

$24 i \sqrt{3} - 40 i \sqrt{3} + 207$

Schritt 3.3

Subtrahiere $40 i \sqrt{3}$ von $24 i \sqrt{3}$ .

$- 16 i \sqrt{3} + 207$

Schritt 4

Stelle $- 16 i \sqrt{3}$ und $207$ um.

$207 - 16 i \sqrt{3}$