Algebra Beispiele

$\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 5$

$x = 4$

$x = 3$

$x = - 7$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5, 4, 3, - 7$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 5) (x - 4)}{(x - 3) (x + 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 3) (x + 7) = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 8.2.2

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.2.3

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 7$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((- 10) + 5) ((- 10) - 4)}{((- 10) - 3) ((- 10) + 7)} \leq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $1.\overline{794871}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((- 6) + 5) ((- 6) - 4)}{((- 6) - 3) ((- 6) + 7)} \leq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 1.\overline{1}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((0) + 5) ((0) - 4)}{((0) - 3) ((0) + 7)} \leq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0.\overline{952380}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3.5$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((3.5) + 5) ((3.5) - 4)}{((3.5) - 3) ((3.5) + 7)} \leq 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $- 0.\overline{809523}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((6) + 5) ((6) - 4)}{((6) - 3) ((6) + 7)} \leq 0$

Schritt 10.5.3

Die linke Seite $0.\overline{564102}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 3$ Falsch

$3 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x \leq - 5$ oder $3 < x \leq 4$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 7 < x \leq - 5 or 3 < x \leq 4$

Intervallschreibweise:

$(- 7, - 5] \cup (3, 4]$

Schritt 13