Algebra Beispiele

$6 x^{2} - x - 12 \geq - 10$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$6 x^{2} - x - 12 = - 10$

Schritt 2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - x - 12 + 10 = 0$

Schritt 3

Addiere $- 12$ und $10$ .

$6 x^{2} - x - 2 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$6 x^{2} - (x) - 2 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1$ um als $3$ plus $- 4$

$6 x^{2} + (3 - 4) x - 2 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} + 3 x) - 4 x - 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 6

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12 \geq - 10$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $45$ ist größer als die rechte Seite $- 10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(0)}^{2} - (0) - 12 \geq - 10$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $- 10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$6 {(3)}^{2} - (3) - 12 \geq - 10$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $39$ ist größer als die rechte Seite $- 10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Falsch

$x > \frac{2}{3}$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Falsch

$x > \frac{2}{3}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{1}{2}$ oder $x \geq \frac{2}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{2}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$

Schritt 13