Algebra Beispiele

$f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (| 2 - x |)$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{\frac{1}{2}} (| 2 - x |)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$| 2 - x | > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $| 2 - x | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$2 - x \geq 0$

Schritt 2.1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 2.1.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 2$

Schritt 2.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x \leq 2$

Schritt 2.1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $2 - x$ nicht negativ ist.

$2 - x > 0$

Schritt 2.1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$2 - x < 0$

Schritt 2.1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 2.1.5.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 2$

Schritt 2.1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.5.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x > 2$

Schritt 2.1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $2 - x$ negativ ist.

$- (2 - x) > 0$

Schritt 2.1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - (2 - x) > 0 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache $- (2 - x) > 0$ .

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Schritt 2.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 1 \cdot 2 - - x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 - - x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2.1.8.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 2.1.8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 + 1 x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2.1.8.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 + x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Schritt 2.2

Löse $2 - x > 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > - 2$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Term in $- x > - 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x < 2$

Schritt 2.3

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 2$

Schritt 2.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < 2$ oder $x > 2$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, 2) \cup (2, \infty), {x | x \neq 2}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 6