Algebra Beispiele

$3 x^{4} + 18 = 21 x^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $21 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{4} + 18 - 21 x^{2} = 0$

Schritt 2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$3 u^{2} - 21 u + 18 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2} - 21 u + 18$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2}$ heraus.

$3 (u^{2}) - 21 u + 18 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 21 u$ heraus.

$3 (u^{2}) + 3 (- 7 u) + 18 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$3 u^{2} + 3 (- 7 u) + 3 \cdot 6 = 0$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2} + 3 (- 7 u)$ heraus.

$3 (u^{2} - 7 u) + 3 \cdot 6 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (u^{2} - 7 u) + 3 \cdot 6$ heraus.

$3 (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Schritt 3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (u - 6) (u - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 5

Setze $u - 6$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u - 6$ gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 6$

Schritt 6

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (u - 6) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 6, 1$

Schritt 8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 6$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 6$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 10.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 10.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 10.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 12.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 13

Die Lösung von $3 x^{4} - 21 x^{2} + 18 = 0$ ist $x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$ .

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$

Dezimalform:

$x = 2.44948974 \dots, - 2.44948974 \dots, 1, - 1$