Algebra Beispiele

$5 x = \sqrt{8 + 10 x}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{8 + 10 x} = 5 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 + 10 x}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 + 10 x}$ als ${(8 + 10 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 + 10 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(8 + 10 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 + 10 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 + 10 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 + 10 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 + 10 x)}^{1} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$8 + 10 x = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(5 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$8 + 10 x = 5^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$8 + 10 x = 25 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $25 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 + 10 x - 25 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $8 + 10 x - 25 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $8$ .

$10 x - 25 x^{2} + 8 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $10 x$ und $- 25 x^{2}$ um.

$- 25 x^{2} + 10 x + 8 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 25 x^{2}$ heraus.

$- (25 x^{2}) + 10 x + 8 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x$ heraus.

$- (25 x^{2}) - (- 10 x) + 8 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$- (25 x^{2}) - (- 10 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (25 x^{2}) - (- 10 x)$ heraus.

$- (25 x^{2} - 10 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (25 x^{2} - 10 x) - 1 (- 8)$ heraus.

$- (25 x^{2} - 10 x - 8) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot - 8 = - 200$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$- (25 x^{2} - 10 x - 8) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $10$ plus $- 20$

$- (25 x^{2} + (10 - 20) x - 8) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (25 x^{2} + 10 x - 20 x - 8) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((25 x^{2} + 10 x) - 20 x - 8) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (5 x (5 x + 2) - 4 (5 x + 2)) = 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 2$ .

$- ((5 x + 2) (5 x - 4)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (5 x + 2) (5 x - 4) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 4 = 0$

Schritt 4.4

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $5 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Schritt 4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 4.5

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $5 x - 4$ gleich $0$ .

$5 x - 4 = 0$

Schritt 4.5.2

Löse $5 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 4$

Schritt 4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (5 x + 2) (5 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{2}{5}, \frac{4}{5}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $5 x = \sqrt{8 + 10 x}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{4}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.8$