Algebra Beispiele

$\frac{\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$ mit $\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3}}{\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) (\frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{x - 3})}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) (\frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{4}{x^{2} - 9} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 9$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{4}{x^{2} - 9} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x - 3) (x + 3)) \frac{4}{x^{2} - 9} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{2}{x - 3}}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x + 3) ((x^{2} - 9) (x - 3)) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x + 3) ((x^{2} - 9) (x - 3)) \frac{1}{x + 3} + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x^{2} - 9) (x - 3) (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x - 3) ((x^{2} - 9) (x + 3)) \frac{1}{x - 3}}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $(x + 3) \cdot 2$ aus $(x - 3) (x + 3) \cdot 4 + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $(x + 3) \cdot 2$ aus $(x - 3) (x + 3) \cdot 4$ heraus.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2) + (x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $(x + 3) \cdot 2$ aus $(x^{2} - 9) (x + 3) \cdot 2$ heraus.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2) + (x + 3) \cdot 2 (x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $(x + 3) \cdot 2$ aus $(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2) + (x + 3) \cdot 2 (x^{2} - 9)$ heraus.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) \cdot 2 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x \cdot 2 - 3 \cdot 2 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (2 \cdot x - 3 \cdot 2 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (2 \cdot x - 6 + x^{2} - 9)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $9$ von $- 6$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (2 x + x^{2} - 15)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x^{2} + 2 x - 15)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 4.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 ((x - 3) (x + 5))}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $(x^{2} - 9) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x + 3)$ heraus.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x^{2} - 9) (x - 3 + x + 3)}$

Schritt 5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x^{2} - 3^{2}) (x - 3 + x + 3)}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) (x - 3 + x + 3)}$

Schritt 5.4

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) (2 x - 3 + 3)}$

Schritt 5.5

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) (2 x + 0)}$

Schritt 5.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) \cdot 2 x}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 3) \cdot 2 (x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x - 3) \cdot 2 x}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 (x - 3)) (x + 5)}{(x - 3) \cdot 2 x}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 3) (x + 5)}{(x - 3) \cdot 2 x}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x - 3) (x + 5)}{(x - 3) x}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 5)}{(x - 3) x}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 5}{x}$