Algebra Beispiele

$\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{3} - y^{3}} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{3} - y^{3}} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 4.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + y$ und ${(x + y)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x + y$ aus $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))$ heraus.

$\frac{(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y)))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $x + y$ aus $(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) {(x + y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y))}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) ((x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y)))}{(x + y) ((x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y))}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y)}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) ((x + y) (x - y))}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) (x + y)}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) (x - y)}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - y$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - x y + y^{2}) (x - y)}{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} + x y + y^{2}}$