Algebra Beispiele

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 1$

$x = 4$

$x = - 8$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 1, 4, - 8$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 7.2.2

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.2.3

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.3.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 7.2.3.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 8$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 10) + 1}{((- 10) - 4) ((- 10) + 8)} \geq 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 0.32142857$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 4) + 1}{((- 4) - 4) ((- 4) + 8)} \geq 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0.09375$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 1}{((0) - 4) ((0) + 8)} \geq 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $- 0.03125$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 1}{((6) - 4) ((6) + 8)} \geq 0$

Schritt 9.4.3

Die linke Seite $0.25$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 1$ Wahr

$- 1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 8 < x \leq - 1$ oder $x > 4$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 8 < x \leq - 1 or x > 4$

Intervallschreibweise:

$(- 8, - 1] \cup (4, \infty)$

Schritt 12