Algebra Beispiele

$- 2 x^{2} + 24 x > - 4 x + 96$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $4 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x^{2} + 24 x + 4 x > 96$

Schritt 1.2

Addiere $24 x$ und $4 x$ .

$- 2 x^{2} + 28 x > 96$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 2 x^{2} + 28 x = 96$

Schritt 3

Subtrahiere $96$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2} + 28 x - 96$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- 2 x^{2} + 28 x - 96 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $28 x$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 96 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 96$ heraus.

$- 2 x^{2} - 2 (- 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2}) - 2 (- 14 x)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 \cdot 48 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{2} - 14 x) - 2 (48)$ heraus.

$- 2 (x^{2} - 14 x + 48) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 14 x + 48$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $48$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 8, - 6$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 2 ((x - 8) (x - 6)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x - 8) (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 8, 6$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 6$

$6 < x < 8$

$x > 8$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(0)}^{2} + 24 (0) > - 4 \cdot 0 + 96$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $96$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $6 < x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $6 < x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(7)}^{2} + 24 (7) > - 4 \cdot 7 + 96$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $70$ ist größer als die rechte Seite $68$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(10)}^{2} + 24 (10) > - 4 \cdot 10 + 96$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $40$ ist nicht größer als die rechte Seite $56$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 6$ Falsch

$6 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

$x < 6$ Falsch

$6 < x < 8$ Wahr

$x > 8$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$6 < x < 8$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$6 < x < 8$

Intervallschreibweise:

$(6, 8)$

Schritt 13