Algebra Beispiele

$2^{x + 1} + 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$

Schritt 1

Klammere $2^{x}$ aus dem Ausdruck aus.

$2^{x} (2 + 1)$

Schritt 2

Addiere $2$ und $1$ .

$2^{x} \cdot 3 = 3^{y + 2} - 3^{y}$

Schritt 3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2^{x}$ .

$3 \cdot 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 \cdot 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \cdot 2^{x} = 3^{y + 2} - 3^{y}$ durch $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x}}{3} = \frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2^{x}}{3} = \frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $2^{x}$ durch $1$ .

$2^{x} = \frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2^{x} = \frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3}$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$

Schritt 6

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$

Schritt 7

Schreibe $\ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$ als $\ln (3^{y + 2} - 3^{y}) - \ln (3)$ um.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 2} - 3^{y}) - \ln (3)$

Schritt 8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1

Vereinfache $\ln (3^{y + 2} - 3^{y}) - \ln (3)$ .

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Schritt 8.1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.2

Zerlege den Bruch $\frac{3^{y + 2} - 3^{y}}{3}$ in zwei Brüche.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 2}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{y + 2}$ und $3$ .

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Schritt 8.1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3^{y + 2}$ heraus.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{y + 1}}{3} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{y + 1}}{3 (1)} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3 \cdot 3^{y + 1}}{3 \cdot 1} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (2) = \ln (\frac{3^{y + 1}}{1} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.3.1.2.4

Dividiere $3^{y + 1}$ durch $1$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{- 3^{y}}{3})$

Schritt 8.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3^{y}$ und $3$ .

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Schritt 8.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3^{y}$ heraus.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{3 (- 3^{y - 1})}{3})$

Schritt 8.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{3 (- 3^{y - 1})}{3 (1)})$

Schritt 8.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{3 (- 3^{y - 1})}{3 \cdot 1})$

Schritt 8.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} + \frac{- 3^{y - 1}}{1})$

Schritt 8.1.3.2.2.4

Dividiere $- 3^{y - 1}$ durch $1$ .

$x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = \ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})}{\ln (2)}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (3^{y + 1} - 3^{y - 1})}{\ln (2)}$