Algebra Beispiele

$3 x - 5 = \sqrt{6 x + 5}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{6 x + 5} = 3 x - 5$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{6 x + 5}}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x + 5}$ als ${(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 x + 5)}^{1} = {(3 x - 5)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$6 x + 5 = {(3 x - 5)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(3 x - 5)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(3 x - 5)}^{2}$ als $(3 x - 5) (3 x - 5)$ um.

$6 x + 5 = (3 x - 5) (3 x - 5)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(3 x - 5) (3 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 5 = 3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 5 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x + 5 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 x + 5 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$6 x + 5 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x + 5 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $15 x$ von $- 15 x$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 30 x + 25$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 x^{2} - 30 x + 25 = 6 x + 5$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 30 x + 25 - 6 x = 5$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 30 x$ .

$9 x^{2} - 36 x + 25 = 5$

Schritt 4.3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 36 x + 25 - 5 = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $5$ von $25$ .

$9 x^{2} - 36 x + 20 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 20 = 180$ und deren Summe gleich $b = - 36$ ist.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $- 36$ aus $- 36 x$ heraus.

$9 x^{2} - 36 x + 20 = 0$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $- 36$ um als $- 6$ plus $- 30$

$9 x^{2} + (- 6 - 30) x + 20 = 0$

Schritt 4.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} - 6 x - 30 x + 20 = 0$

Schritt 4.5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 x^{2} - 6 x) - 30 x + 20 = 0$

Schritt 4.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (3 x - 2) - 10 (3 x - 2) = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (3 x - 10) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$3 x - 10 = 0$

Schritt 4.7

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 4.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 4.8

Setze $3 x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze $3 x - 10$ gleich $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Schritt 4.8.2

Löse $3 x - 10 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.2.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 10$

Schritt 4.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 10$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 4.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Schritt 4.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 2) (3 x - 10) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, \frac{10}{3}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $3 x - 5 = \sqrt{6 x + 5}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{10}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{10}{3}$

Dezimalform:

$x = 3.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 3 \frac{1}{3}$