Algebra Beispiele

$\frac{10}{x + 2} \leq 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{10}{x + 2} - 5 \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{10}{x + 2} - 5$ .

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Schritt 2.1

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{10}{x + 2} - 5 \cdot \frac{x + 2}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{10}{x + 2} + \frac{- 5 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 - 5 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $10 - 5 (x + 2)$ heraus.

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Schritt 2.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (2) - 5 (x + 2)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (x + 2)$ heraus.

$\frac{5 (2) + 5 (- (x + 2))}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.1.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2) + 5 (- (x + 2))$ heraus.

$\frac{5 (2 - (x + 2))}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (2 - x - 1 \cdot 2)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5 (2 - x - 2)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{5 (- x + 0)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.5

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{5 \cdot - 1 x}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (5 x)}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 x}{x + 2} \leq 0$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x}{x + 2} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$- 5 x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = 0$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 x = 0$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 5}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$x = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 2$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 2$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{5 x}{x + 2}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{5 x}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{10}{(- 4) + 2} \leq 5$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{10}{(- 1) + 2} \leq 5$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $10$ ist größer als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{10}{(2) + 2} \leq 5$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $2.5$ ist kleiner als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x \geq 0$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 2 or x \geq 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup [0, \infty)$

Schritt 13