Algebra Beispiele

$\frac{2}{3} (1 - e^{- x}) \leq - 3$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot (1 - e^{- x})$ .

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} (- e^{- x}) \leq - 3$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} (- e^{- x}) \leq - 3$

Schritt 1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3 - \frac{2}{3}$

Schritt 2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - 3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 3 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 3 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 9 - 2}{3}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 9$ .

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq \frac{- 11}{3}$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 e^{- x}}{3} \leq - \frac{11}{3}$

Schritt 3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 2 e^{- x} \leq - 11$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 e^{- x} \leq - 11$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Term in $- 2 e^{- x} \leq - 11$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 e^{- x}}{- 2} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 e^{- x}}{- 2} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $e^{- x}$ durch $1$ .

$e^{- x} \geq \frac{- 11}{- 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$e^{- x} \geq \frac{11}{2}$

Schritt 5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) \geq \ln (\frac{11}{2})$

Schritt 6

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$- x \ln (e) \geq \ln (\frac{11}{2})$

Schritt 6.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- x \cdot 1 \geq \ln (\frac{11}{2})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x \geq \ln (\frac{11}{2})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \ln (\frac{11}{2})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Term in $- x \geq \ln (\frac{11}{2})$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (\frac{11}{2})}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \ln (\frac{11}{2})$

Schritt 7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (\frac{11}{2})$ als $- \ln (\frac{11}{2})$ um.

$x \leq - \ln (\frac{11}{2})$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \ln (\frac{11}{2})$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \ln (\frac{11}{2})]$

Schritt 9