Algebra Beispiele

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Schritt 1

Ersetze $f (x)$ durch $x + 7$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Schritt 2.3

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $7$ von $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Schritt 2.5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Schritt 2.5.3

Setze $- 7$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 7$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.5.3.1

Setze $- 7$ in das Polynom ein.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $- 7$ mit $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Schritt 2.5.3.3

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Schritt 2.5.3.4

Mutltipliziere $12$ mit $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Schritt 2.5.3.5

Addiere $- 343$ und $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Schritt 2.5.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Schritt 2.5.3.7

Subtrahiere $168$ von $245$ .

$77 - 77$

Schritt 2.5.3.8

Subtrahiere $77$ von $77$ .

$0$

Schritt 2.5.4

Da $- 7$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Schritt 2.5.5

Dividiere $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ durch $x + 7$ .

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Schritt 2.5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Schritt 2.5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Schritt 2.5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 2.5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 2.5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Schritt 2.5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 2.5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Schritt 2.5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x^{2} + 35 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Schritt 2.5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Schritt 2.5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Schritt 2.5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 11 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Schritt 2.5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Schritt 2.5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 11 x - 77$

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Schritt 2.5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Schritt 2.5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 5 x - 11$

Schritt 2.5.6

Schreibe $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Schritt 2.7

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 2.8

Setze $x^{2} + 5 x - 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Setze $x^{2} + 5 x - 11$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Schritt 2.8.2

Löse $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = - 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 2.8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.3.1.3

Addiere $25$ und $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.4.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 2.8.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.4.1.3

Addiere $25$ und $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.4.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{69}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Schritt 2.8.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Schritt 2.8.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.2.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Schritt 2.8.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.5.1.3

Addiere $25$ und $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.8.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.5.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{69}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Schritt 2.8.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Schritt 2.8.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.8.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ wahr machen.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Dezimalform:

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$