Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 3} \div \frac{x - 5}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{x - 3} (x^{2} - 9)$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x - 3}$ mit $x^{2} - 9$ .

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 9)}{x - 3}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x + 3) (x^{2} - 3^{2})}{x - 3}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{1} (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 4.3.2

Potenziere $x + 3$ mit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1} (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 3)}^{2} (x - 3)}{x - 3}$

Schritt 5.1.2

Dividiere ${(x + 3)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 3)}^{2}$

Schritt 5.2

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$(x + 3) (x + 3)$

Schritt 6

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 3) + 3 (x + 3)$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 7.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9$

Schritt 7.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9$