Algebra Beispiele

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int {(x - 1)}^{3} d x + \int 2 d x$

Schritt 3

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{3} d u + \int 2 d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 2 d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 2 x + C$

Schritt 6

Vereinfache.

$\frac{1}{4} u^{4} + 2 x + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

Schritt 8

Die Funktion $F$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$F (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$