Algebra Beispiele

$\frac{\sin (\frac{11 π}{6}) - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{- \sin (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} - \cos (\frac{π}{6})}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\sin (- \frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\sin (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 2.2

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{5 π}{6})}$

Schritt 2.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{6})}$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 2.6

Subtrahiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ von $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Schritt 3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (1)}}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 1}}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{- \sqrt{3}}{1}}$

Schritt 4.2

Dividiere $- \sqrt{3}$ durch $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{3}}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{\sqrt{3}})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))$

Schritt 8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 8.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Schritt 8.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Schritt 8.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Schritt 8.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 9

Multipliziere $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{(- 1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{(- 1 - \sqrt{3}) \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{- 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 11

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$- \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 12

Multipliziere $- \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 12.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{6}$

Schritt 12.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{6}$

Schritt 12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{- \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 13.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{- \sqrt{3} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 13.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 13.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 13.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 13.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{- \sqrt{3} - 3^{1}}{6}$

Schritt 13.1.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{6}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{- \sqrt{3} - 3}{6}$

Schritt 14

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{- (\sqrt{3}) - 3}{6}$

Schritt 14.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$- \frac{- (\sqrt{3}) - 1 (3)}{6}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sqrt{3}) - 1 (3)$ heraus.

$- \frac{- (\sqrt{3} + 3)}{6}$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.4.1

Schreibe $- (\sqrt{3} + 3)$ als $- 1 (\sqrt{3} + 3)$ um.

$- \frac{- 1 (\sqrt{3} + 3)}{6}$

Schritt 14.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 14.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 14.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3} + 3}{6}$

Dezimalform:

$0.78867513 \dots$