Algebra Beispiele

$\sqrt{x - 3} \leq 7$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x - 3}}^{2} \leq 7^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 3)}^{1} \leq 7^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 3 \leq 7^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x - 3 \leq 49$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \leq 49 + 3$

Schritt 3.2

Addiere $49$ und $3$ .

$x \leq 52$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x - 3} - 7$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 3 \geq 0$

Schritt 4.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < 52$

$x > 52$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(0) - 3} \leq 7$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 52$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 52$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(6) - 3} \leq 7$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $1.7320508$ ist kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 52$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 52$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 54$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $54$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{(54) - 3} \leq 7$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $7.14142842$ ist größer als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Falsch

$3 < x < 52$ Wahr

$x > 52$ Falsch

$x < 3$ Falsch

$3 < x < 52$ Wahr

$x > 52$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$3 \leq x \leq 52$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$3 \leq x \leq 52$

Intervallschreibweise:

$[3, 52]$

Schritt 9