Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} + 7$ for $x \geq 0$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[7, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[7, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 7$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = y^{4} + 7$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $y^{4} + 7 = x$ um.

$y^{4} + 7 = x$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{4} = x - 7$

Schritt 2.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt[4]{x - 7}$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

$y = \sqrt[4]{x - 7}$

$y = - \sqrt[4]{x - 7}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{x - 7}, - \sqrt[4]{x - 7}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[4]{x - 7}, x \geq 7$

Schritt 4