Algebra Beispiele

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} = \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{x^{2} + 3 x - 10}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $3$ ist.

$- 2, 5$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{2}{x + 5} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.3

Um $- \frac{2}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} - \frac{2}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) (x + 5)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 2}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{2}{x + 5} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x + 5}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 2) (x + 5)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 5)$ um.

$\frac{x + 5}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 5 - 2 (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} - \frac{2 x - 1}{(x - 2) (x + 5)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 5 - 2 (x - 2) - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 5 - 2 x - 2 \cdot - 2 - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - (2 x - 1)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - (2 x) - - 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - 2 x - - 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x + 5 - 2 x + 4 - 2 x + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x + 5 + 4 - 2 x + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.9

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 5 + 4 + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.10

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{- 3 x + 9 + 1}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.11

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{- 3 x + 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.13

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 10)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.15

Schreibe $- (3 x - 10)$ als $- 1 (3 x - 10)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 10)}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 2.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 10}{(x + 5) (x - 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 10}{(x + 5) (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 5) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 4.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 2$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 5, x = 2$

Schritt 6