Algebra Beispiele

$2 y^{2} + x + 20 y + 51 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$2 {(0)}^{2} + x + 20 (0) + 51 = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $2 {(0)}^{2} + x + 20 (0) + 51$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \cdot 0 + x + 20 (0) + 51 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 + x + 20 (0) + 51 = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$0 + x + 0 + 51 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + x + 0 + 51$ .

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Schritt 1.2.1.2.1

Addiere $0$ und $x$ .

$x + 0 + 51 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$x + 51 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $51$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 51$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 51, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$2 y^{2} + 0 + 20 y + 51 = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Addiere $2 y^{2}$ und $0$ .

$2 y^{2} + 20 y + 51 = 0$

Schritt 2.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 20$ und $c = 51$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 51)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 2 \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 51$ .

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Schritt 2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 8 \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $51$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 408}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.3

Subtrahiere $408$ von $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{4}$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 2 \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 51$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 8 \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $51$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 408}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.3

Subtrahiere $408$ von $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{4}$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 10 + i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.5

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 10 + i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{2}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 10 - (- i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 2.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (10) - (- i \sqrt{2})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (10 - i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 2.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{10 - i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 2 \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 51$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 8 \cdot 51}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $51$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 408}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.3

Subtrahiere $408$ von $400$ .

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.2.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 20 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{4}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 2 i \sqrt{2}}{4}$ .

$y = \frac{- 10 \pm i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 10 - i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.6.5

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 10 - i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{2}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 10 - (i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 2.2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (10) - (i \sqrt{2})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (10 + i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 2.2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{10 + i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{10 - i \sqrt{2}}{2}, - \frac{10 + i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- 51, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4