Algebra Beispiele

$2 y^{2} + x + 20 y + 51 = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 20 y + 51 = - 2 y^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $20 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 51 = - 2 y^{2} - 20 y$

Schritt 1.1.3

Subtrahiere $51$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 y^{2} - 20 y - 51$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 2 y^{2} - 20 y - 51$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$b = - 20$

$c = - 51$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 20}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 (- 2)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 10}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10$ heraus.

$d = \frac{- 2 (5)}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$d = 5$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 51 - \frac{{(- 20)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$e = - 51 - \frac{400}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = - 51 - \frac{400}{- 8}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $400$ durch $- 8$ .

$e = - 51 - - 50$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 50$ .

$e = - 51 + 50$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $- 51$ und $50$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 2 {(y + 5)}^{2} - 1$ ein.

$- 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Schritt 4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{8}$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{7}{8}$

Schritt 6