Algebra Beispiele

$\log (2 x^{2} + 3 x) = \log (6 x + 2)$

Schritt 1

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{2} + 3 x = 6 x + 2$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 3 x - 6 x = 2$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x = 2$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$2 x^{2} + (1 - 4) x - 2 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 4 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 4 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 2) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 2$

Schritt 3

Schließe die Lösungen aus, die $\log (2 x^{2} + 3 x) = \log (6 x + 2)$ nicht erfüllen.

$x = 2$