Algebra Beispiele

$7 + \frac{2}{x} < \frac{- 5}{x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$(7 + \frac{2}{x}) x = \frac{- 5}{x} x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(7 + \frac{2}{x}) x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 x + \frac{2}{x} x = \frac{- 5}{x} x$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x + \frac{2}{x} x = \frac{- 5}{x} x$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x + 2 = \frac{- 5}{x} x$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 x + 2 = \frac{- 5}{x} x$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$7 x + 2 = - 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x = - 5 - 2$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$7 x = - 7$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 7$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 x = - 7$ durch $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 7}{7}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 7}{7}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{7}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $7$ .

$x = - 1$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $7 + \frac{7}{x}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{7}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$7 + \frac{2}{- 4} < \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $6.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.5$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$7 + \frac{2}{- 0.5} < \frac{- 5}{- 0.5}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $3$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$7 + \frac{2}{2} < \frac{- 5}{2}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $8$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 0$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- 1, 0)$

Schritt 9