Algebra Beispiele

$y = \sin (x) + 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \sin (x) + 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sin (x) + 1 = 0$ um.

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 1.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 1.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 1.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.7

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.8

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 1.2.8.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 1.2.8.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.8.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.8.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.8.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.8.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.9

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \sin (0) + 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sin (0) + 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $\sin (0) + 1$ .

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Schritt 2.2.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$y = 0 + 1$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4