Algebra Beispiele

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

Schritt 1

Subtrahiere ${(x - 1)}^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x - 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

Schritt 3.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

Schritt 3.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

Schritt 3.2.1.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Schritt 4

Schreibe $| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y + 2 \geq 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq - 2$

Schritt 4.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y + 2$ nicht negativ ist.

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq - 2$ .

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Schritt 4.4.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

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Schritt 4.4.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Schritt 4.4.1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.4.1.2.1

Vereinfache $(x + 1) (- x + 3)$ .

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Schritt 4.4.1.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (- x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.1.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.1.2.2

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Schritt 4.4.1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 2 x + 3$ heraus.

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Schritt 4.4.1.2.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Schritt 4.4.1.2.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Schritt 4.4.1.2.3.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.4.1.2.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.4.1.2.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 4.4.1.2.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.1.2.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 4.4.1.2.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.4.1.2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 4.4.1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4.1.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.4.1.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.4.1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.4.1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.4.1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 4.4.1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 4.4.1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 4.4.1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.9.1.3

Die linke Seite $- 21$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.4.1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.4.1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.9.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.4.1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 4.4.1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Schritt 4.4.1.2.9.3.3

Die linke Seite $- 21$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.4.1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 4.4.1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 3$

Schritt 4.4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, 3]$

Schritt 4.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq - 2$ und $[- 1, 3]$ .

$- 1 \leq y \leq 3$

Schritt 4.5

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y + 2 < 0$

Schritt 4.6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y < - 2$

Schritt 4.7

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y + 2$ negativ ist.

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Schritt 4.8

Bestimme den Definitionsbereich von $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Schritt 4.8.1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1

Vereinfache $(x + 1) (- x + 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (- x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.1.2.2

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Schritt 4.8.1.2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} + 2 x + 3$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Schritt 4.8.1.2.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Schritt 4.8.1.2.3.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.8.1.2.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.8.1.2.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Schritt 4.8.1.2.3.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 4.8.1.2.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Schritt 4.8.1.2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Schritt 4.8.1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 4.8.1.2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1.2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.8.1.2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.8.1.2.6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1.2.6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.8.1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4.8.1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 3) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 1$

Schritt 4.8.1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 4.8.1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.8.1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 4.8.1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.9.1.3

Die linke Seite $- 21$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.8.1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.8.1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.9.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.8.1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.8.1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 4.8.1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Schritt 4.8.1.2.9.3.3

Die linke Seite $- 21$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.8.1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 4.8.1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 \leq x \leq 3$

Schritt 4.8.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- 1, 3]$

Schritt 4.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < - 2$ und $[- 1, 3]$ .

$Keine Lösung$

Schritt 4.9

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

Schritt 5

Löse $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ , wenn $- 1 \leq y \leq 3$ ergibt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

Schritt 5.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ und $- 1 \leq y \leq 3$ .

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Schritt 6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Schritt 7