Algebra Beispiele

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{4 a^{2} - 9}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{{(2 a)}^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{{(2 a)}^{2} - 3^{2}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = 3$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 2

Um $\frac{2 a}{2 a + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 2 a}{3 - 2 a}$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} \cdot \frac{3 - 2 a}{3 - 2 a} + \frac{5}{3 - 2 a} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 3

Um $\frac{5}{3 - 2 a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 a + 3}{2 a + 3}$ .

$\frac{2 a}{2 a + 3} \cdot \frac{3 - 2 a}{3 - 2 a} + \frac{5}{3 - 2 a} \cdot \frac{2 a + 3}{2 a + 3} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 a + 3) (3 - 2 a)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 a}{2 a + 3}$ mit $\frac{3 - 2 a}{3 - 2 a}$ .

$\frac{2 a (3 - 2 a)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} + \frac{5}{3 - 2 a} \cdot \frac{2 a + 3}{2 a + 3} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3 - 2 a}$ mit $\frac{2 a + 3}{2 a + 3}$ .

$\frac{2 a (3 - 2 a)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} + \frac{5 (2 a + 3)}{(3 - 2 a) (2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(3 - 2 a) (2 a + 3)$ um.

$\frac{2 a (3 - 2 a)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} + \frac{5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 a (3 - 2 a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a \cdot 3 + 2 a (- 2 a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 a + 2 a (- 2 a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 a + 2 \cdot - 2 a \cdot a + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{6 a + 2 \cdot - 2 (a \cdot a) + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{6 a + 2 \cdot - 2 a^{2} + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 5 (2 a + 3)}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 5 (2 a) + 5 \cdot 3}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 10 a + 5 \cdot 3}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{6 a - 4 a^{2} + 10 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 6.8

Addiere $6 a$ und $10 a$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (2 a - 3)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a) - 3)}$

Schritt 7.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a) - 1 (3))}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 a) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (3 - 2 a)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Schritt 8

Um $\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Schritt 9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 a + 3) (- 2 a + 3) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{- 4 a^{2} + 16 a + 15}{(2 a + 3) (- 2 a + 3)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1}{(2 a + 3) (- 2 a + 3) \cdot - 1} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Schritt 9.2

Stelle die Faktoren von $(2 a + 3) (- 2 a + 3) \cdot - 1$ um.

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))}$

Schritt 9.3

Stelle die Faktoren von $(2 a + 3) (- (- 2 a + 3))$ um.

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)} - \frac{4 a^{2} + 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 4 a^{2} + 16 a + 15) \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 a^{2} \cdot - 1 + 16 a \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{4 a^{2} + 16 a \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a + 15 \cdot - 1 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - (4 a^{2} + 9)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - (4 a^{2}) - 1 \cdot 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - 4 a^{2} - 1 \cdot 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{4 a^{2} - 16 a - 15 - 4 a^{2} - 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.6

Subtrahiere $4 a^{2}$ von $4 a^{2}$ .

$\frac{- 16 a - 15 + 0 - 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.7

Addiere $- 16 a$ und $0$ .

$\frac{- 16 a - 15 - 9}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.8

Subtrahiere $9$ von $- 15$ .

$\frac{- 16 a - 24}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.9

Faktorisiere $8$ aus $- 16 a - 24$ heraus.

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Schritt 11.9.1

Faktorisiere $8$ aus $- 16 a$ heraus.

$\frac{8 (- 2 a) - 24}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.9.2

Faktorisiere $8$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{8 (- 2 a) + 8 (- 3)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 11.9.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 2 a) + 8 (- 3)$ heraus.

$\frac{8 (- 2 a - 3)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 a - 3$ und $2 a + 3$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{8 (- (2 a) - 3)}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 12.1.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{8 (- (2 a) - 1 (3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 12.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 a) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{8 (- (2 a + 3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 12.1.4

Schreibe $- (2 a + 3)$ als $- 1 (2 a + 3)$ um.

$\frac{8 (- 1 (2 a + 3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 12.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (- 1 (2 a + 3))}{- (- 2 a + 3) (2 a + 3)}$

Schritt 12.1.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \cdot (- 1)}{- (- 2 a + 3)}$

Schritt 12.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{8}{- 2 a + 3}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{8}{- (2 a) + 3}$

Schritt 12.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{8}{- (2 a) - 1 (- 3)}$

Schritt 12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 a) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{8}{- (2 a - 3)}$

Schritt 12.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 12.6.1

Schreibe $- (2 a - 3)$ als $- 1 (2 a - 3)$ um.

$\frac{8}{- 1 (2 a - 3)}$

Schritt 12.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{2 a - 3}$