Algebra Beispiele

$\sqrt{3 x + 4} - 5 \leq 4$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{3 x + 4}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{3 x + 4} \leq 4 + 5$

Schritt 1.2

Addiere $4$ und $5$ .

$\sqrt{3 x + 4} \leq 9$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{3 x + 4}}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 4}$ als ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 x + 4)}^{1} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$3 x + 4 \leq 9^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$3 x + 4 \leq 81$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \leq 81 - 4$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $4$ von $81$ .

$3 x \leq 77$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq 77$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq 77$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{77}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{77}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{77}{3}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{3 x + 4} - 9$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 x + 4}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x + 4 \geq 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x \geq - 4$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq - 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq - 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 4}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{4}{3}$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{4}{3}, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \frac{77}{3}$

$x > \frac{77}{3}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{3 (- 4) + 4} - 5 \leq 4$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{4}{3} < x < \frac{77}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{4}{3} < x < \frac{77}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{3 (0) + 4} - 5 \leq 4$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 3$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{77}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{77}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 28$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $28$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{3 (28) + 4} - 5 \leq 4$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $4.38083151$ ist größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{4}{3}$ Falsch

$- \frac{4}{3} < x < \frac{77}{3}$ Wahr

$x > \frac{77}{3}$ Falsch

$x < - \frac{4}{3}$ Falsch

$- \frac{4}{3} < x < \frac{77}{3}$ Wahr

$x > \frac{77}{3}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{77}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{77}{3}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{4}{3}, \frac{77}{3}]$

Schritt 10