Algebra Beispiele

(- 2 x^{2} + 3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x + 5)

$(- 2 x^{2} + 3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x + 5)$

Schritt 1

Um ein Polynom in Normalform zu schreiben, vereinfache es und ordne die Terme dann in absteigender Folge.

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Multipliziere

(- 2 x^{2} + 3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x + 5)

$(- 2 x^{2} + 3 x - 1) (2 x^{2} + 3 x + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (2 x^{2}) + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (2 x^{2}) + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (2 x^{2}) + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} (3 x) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (2 x^{2}) + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen

- 2 x^{2} (3 x)

$- 2 x^{2} (3 x)$ und

3 x (2 x^{2})

$3 x (2 x^{2})$ neu an.

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 \cdot 3 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 5 + 2 \cdot 3 x^{2} x + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 \cdot 3 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 5 + 2 \cdot 3 x^{2} x + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.1.2

Addiere

- 2 \cdot 3 x^{2} x

$- 2 \cdot 3 x^{2} x$ und

2 \cdot 3 x^{2} x

$2 \cdot 3 x^{2} x$ .

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 0 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 0 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.1.3

Addiere

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5$ und

0

$0$ .

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 x^{2} (2 x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

- 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.2

Multipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

x^{2}

$x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege

x^{2}

$x^{2}$ .

- 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

- 2 \cdot 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 \cdot 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.2.3

Addiere

2

$2$ und

2

$2$ .

- 2 \cdot 2 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 \cdot 2 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

- 2 \cdot 2 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 2 \cdot 2 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

- 4 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 2 x^{2} \cdot 5 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 2

$- 2$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.6

Multipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1

Bewege

x

$x$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere

5

$5$ mit

3

$3$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 1 (2 x^{2}) - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 1 (3 x) - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 1 (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 1 \cdot 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 1 \cdot 5$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

5

$5$ .

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 5$

- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 5

$- 4 x^{4} - 10 x^{2} + 9 x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 5$

Schritt 3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.1

Addiere

- 10 x^{2}

$- 10 x^{2}$ und

9 x^{2}

$9 x^{2}$ .

- 4 x^{4} - x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 5

$- 4 x^{4} - x^{2} + 15 x - 2 x^{2} - 3 x - 5$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere

2 x^{2}

$2 x^{2}$ von

- x^{2}

$- x^{2}$ .

- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 15 x - 3 x - 5

$- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 15 x - 3 x - 5$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere

3 x

$3 x$ von

15 x

$15 x$ .

- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 12 x - 5

$- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 12 x - 5$

- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 12 x - 5

$- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 12 x - 5$

- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 12 x - 5

$- 4 x^{4} - 3 x^{2} + 12 x - 5$