Algebra Beispiele

$\log (6 x + 5) - \log (3) = \log (2) - \log (x)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{6 x + 5}{3}) = \log (2) - \log (x)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{6 x + 5}{3}) = \log (\frac{2}{x})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{6 x + 5}{3} = \frac{2}{x}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$(6 x + 5) x = 3 \cdot 2$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $(6 x + 5) x$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x \cdot x + 5 x = 3 \cdot 2$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$6 (x \cdot x) + 5 x = 3 \cdot 2$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 x^{2} + 5 x = 3 \cdot 2$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + 5 x = 6$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Schritt 4.2.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 4.2.4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$6 x^{2} + 5 (x) - 6 = 0$

Schritt 4.2.4.1.2

Schreibe $5$ um als $- 4$ plus $9$

$6 x^{2} + (- 4 + 9) x - 6 = 0$

Schritt 4.2.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 4 x + 9 x - 6 = 0$

Schritt 4.2.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} - 4 x) + 9 x - 6 = 0$

Schritt 4.2.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2) = 0$

Schritt 4.2.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$

Schritt 4.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Schritt 4.2.6

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 4.2.6.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.6.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 4.2.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 4.2.7

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.7.1

Setze $2 x + 3$ gleich $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Schritt 4.2.7.2

Löse $2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.7.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 4.2.7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 4.2.7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 4.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log (6 x + 5) - \log (3) = \log (2) - \log (x)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{6}$