Algebra Beispiele

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Schritt 1

Ersetze die $\sin^{2} (x)$ durch $1 - \cos^{2} (x)$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Schritt 3

Stelle das Polynom um.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

Schritt 4

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ und $c = \sqrt{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.3

Multipliziere $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 7.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.6

Addiere $1$ und $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 7.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 7.5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 7.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 7.5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 7.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 7.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 7.7

Stelle die Faktoren in $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ um.

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 11

Löse in $\cos (x) = \sqrt{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $\sqrt{2}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 12

Löse in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 12.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Schritt 12.4

Vereinfache $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 12.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 12.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Schritt 12.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Schritt 12.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Schritt 12.4.3.2

Subtrahiere $3 π$ von $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 12.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 12.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 12.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 12.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 12.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 12.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$