Algebra Beispiele

$y = - \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{4}{5} y + \frac{1}{5}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4}{5} y + \frac{1}{5} = x$ um.

$- \frac{4}{5} y + \frac{1}{5} = x$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{5} + \frac{1}{5} = x$

Schritt 2.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{4 y}{5} + \frac{1}{5} = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4 y}{5} = x - \frac{1}{5}$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 y}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{4} (x - \frac{1}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} (- \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} (- \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} (- \frac{1}{5})$

Schritt 2.5.2.1.1.3.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{5}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.5.2.1.1.3.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.5.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 1}{5}$

Schritt 2.5.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{- 1}{4}$ und $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- - 1}{4}$

Schritt 2.5.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = - \frac{5 (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5})}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{4 x}{5} + \frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 (- \frac{4 x}{5}) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 x}{5}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 5 \frac{- 4 x}{5} - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.3.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{5 (- 1) (\frac{- 4 x}{5}) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{5 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{5}) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{- 1 (- 4 x) - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x - 5 (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.5.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x + 5 (- 1) (\frac{1}{5}) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x + 5 \cdot (- 1 (\frac{1}{5})) + 1}{4}$

Schritt 4.2.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 1 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 4.2.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 4.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = - 1 (- x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = 1 x - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.6.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + \frac{- 1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Addiere $- \frac{1}{5}$ und $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{4}{5} x + \frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{1}{4}$