Algebra Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} (x^{2} - 7) {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 5 x^{2} (x^{2} - 7) {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $5 x^{2} (x^{2} - 7) {(x - 1)}^{2} = 0$ um.

$5 x^{2} (x^{2} - 7) {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 7 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2} - 7$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 7$

Schritt 1.2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{7}$

Schritt 1.2.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{7}$

Schritt 1.2.4.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{7}$

Schritt 1.2.4.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Schritt 1.2.5

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x^{2} (x^{2} - 7) {(x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{7}, 0), (- \sqrt{7}, 0), (1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 5 {(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cdot (0^{2} ({(0)}^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cdot (0^{2} (0^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2})$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 5 \cdot (0^{2} (0^{2} - 7) {(0 - 1)}^{2})$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = 5 {(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $5 {(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.5.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 5 \cdot 0 ({(0)}^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = 0 ({(0)}^{2} - 7) {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 (0 - 7) {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5.4

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$y = 0 \cdot - 7 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 7$ .

$y = 0 {((0) - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = 0 {(- 1)}^{2}$

Schritt 2.2.5.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = 0 \cdot 1$

Schritt 2.2.5.8

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{7}, 0), (- \sqrt{7}, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4