Algebra Beispiele

$\ln (2 y - 5) + \ln (2) = 5 x + \ln (5 x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 y - 5) \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (2 y \cdot 2 - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Schritt 1.3

Multipliziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\ln (4 y - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\ln (4 y - 10) = 5 x + \ln (5 x)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (4 y - 10) - \ln (5 x) = 5 x$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 y - 10}{5 x}) = 5 x$

Schritt 4

Faktorisiere $2$ aus $4 y - 10$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\ln (\frac{2 (2 y) - 10}{5 x}) = 5 x$

Schritt 4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\ln (\frac{2 (2 y) + 2 (- 5)}{5 x}) = 5 x$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 y) + 2 (- 5)$ heraus.

$\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$

Schritt 5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x})} = e^{5 x}$

Schritt 6

Schreibe $\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{5 x} = \frac{2 (2 y - 5)}{5 x}$

Schritt 7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$ um.

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$

Schritt 7.2

Multipliziere beide Seiten mit $5 x$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x) = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.1.1

Vereinfache $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x)$ .

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Schritt 7.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 (x)} x = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (2 y - 5) = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.5

Multipliziere.

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Schritt 7.3.1.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.1.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$4 y - 10 = e^{5 x} (5 x)$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Vereinfache $e^{5 x} (5 x)$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 y - 10 = 5 e^{5 x} x$

Schritt 7.3.2.1.2

Stelle die Faktoren in $5 e^{5 x} x$ um.

$4 y - 10 = 5 x e^{5 x}$

Schritt 7.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.4.1

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = 5 x e^{5 x} + 10$

Schritt 7.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Schritt 7.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 (5)}{4}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{5}{2}$