Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Schritt 1

Setze $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ gleich $0$ .

$\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ als ${(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.3.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ heraus.

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ heraus.

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.3.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Schritt 2.3.1.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Schritt 2.3.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Schritt 2.3.1.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.3.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Schritt 2.3.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 2.3.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 2.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Dezimalform:

$x = 0, - 0.5, 3$

Schritt 4