Algebra Beispiele

$f (x) = 3 (x + 3) (x + 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1

Identifiziere den Grad der Funktion.

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Schritt 1.1

Vereinfache und ordne das Polynom neu an.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot 3) (x + 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(3 x + 9) (x + 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(3 x + 9) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x (x + 2) + 9 (x + 2)) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 9 (x + 2)) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$(3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(3 x^{2} + 6 x + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$(3 x^{2} + 6 x + 9 x + 18) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $6 x$ und $9 x$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.5.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.5.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$

Schritt 1.1.6

Multipliziere $(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.6.1

Bewege $x$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.9

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.9.1

Bewege $x^{3}$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 (x^{3} x) + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.9.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.7.1.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 (x^{3} x^{1}) + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{3 + 1} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.9.3

Addiere $3$ und $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.11

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.11.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 (x^{2} x) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.11.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.7.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 x^{3} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.12

Mutltipliziere $15$ mit $- 3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 \cdot 3 x \cdot x + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.14

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.7.1.14.1

Bewege $x$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 \cdot 3 (x \cdot x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.14.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 \cdot 3 x^{2} + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.15

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.17

Mutltipliziere $- 3$ mit $18$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.18

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x + 18 \cdot - 1$

Schritt 1.1.7.1.19

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 1.1.7.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.7.2.1

Addiere $- 9 x^{4}$ und $15 x^{4}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 1.1.7.2.2

Subtrahiere $45 x^{3}$ von $9 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 36 x^{3} - 3 x^{2} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 1.1.7.2.3

Addiere $- 36 x^{3}$ und $18 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} - 3 x^{2} + 45 x^{2} - 15 x - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 1.1.7.2.4

Addiere $- 3 x^{2}$ und $45 x^{2}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 15 x - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 1.1.7.2.5

Subtrahiere $54 x^{2}$ von $42 x^{2}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x + 54 x - 18$

Schritt 1.1.7.2.6

Addiere $- 15 x$ und $54 x$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} - 12 x^{2} + 39 x - 18$

Schritt 1.2

Der größte Exponent ist der Grad des Polynoms.

$5$

Schritt 2

Da der Grad ungerade ist, werden die Enden der Funktion in entgegengesetzte Richtungen zeigen.

Ungerade

Schritt 3

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 3.1

Vereinfache das Polynom, dann ordne es von links nach rechts neu an, beginnend mit dem Term höchsten Grades.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot 3) (x + 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(3 x + 9) (x + 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $(3 x + 9) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x (x + 2) + 9 (x + 2)) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 9 (x + 2)) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$(3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(3 x^{2} + 6 x + 9 x + 9 \cdot 2) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$(3 x^{2} + 6 x + 9 x + 18) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $6 x$ und $9 x$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) {(x - 1)}^{3}$

Schritt 3.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Schritt 3.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Schritt 3.1.5.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3})$

Schritt 3.1.5.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $(3 x^{2} + 15 x + 18) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.7.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x^{5} + 3 \cdot - 3 x^{4} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 x^{2} (3 x) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.6

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1.6.1

Bewege $x$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.1.7.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 3 \cdot 3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x \cdot x^{3} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.9

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1.9.1

Bewege $x^{3}$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 (x^{3} x) + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.9.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.1.7.1.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 (x^{3} x^{1}) + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{3 + 1} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.9.3

Addiere $3$ und $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 x (- 3 x^{2}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.11

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1.11.1

Bewege $x^{2}$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 (x^{2} x) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.11.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.1.7.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} + 15 \cdot - 3 x^{3} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.12

Mutltipliziere $15$ mit $- 3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 x (3 x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.13

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 \cdot 3 x \cdot x + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.14

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.7.1.14.1

Bewege $x$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 \cdot 3 (x \cdot x) + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.14.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 15 \cdot 3 x^{2} + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.15

Mutltipliziere $15$ mit $3$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} + 15 x \cdot - 1 + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} + 18 (- 3 x^{2}) + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.17

Mutltipliziere $- 3$ mit $18$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 18 (3 x) + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.18

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x + 18 \cdot - 1$

Schritt 3.1.7.1.19

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$3 x^{5} - 9 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 15 x^{4} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 3.1.7.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.7.2.1

Addiere $- 9 x^{4}$ und $15 x^{4}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 45 x^{3} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 3.1.7.2.2

Subtrahiere $45 x^{3}$ von $9 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 36 x^{3} - 3 x^{2} + 45 x^{2} - 15 x + 18 x^{3} - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 3.1.7.2.3

Addiere $- 36 x^{3}$ und $18 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} - 3 x^{2} + 45 x^{2} - 15 x - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 3.1.7.2.4

Addiere $- 3 x^{2}$ und $45 x^{2}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} + 42 x^{2} - 15 x - 54 x^{2} + 54 x - 18$

Schritt 3.1.7.2.5

Subtrahiere $54 x^{2}$ von $42 x^{2}$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} - 12 x^{2} - 15 x + 54 x - 18$

Schritt 3.1.7.2.6

Addiere $- 15 x$ und $54 x$ .

$3 x^{5} + 6 x^{4} - 18 x^{3} - 12 x^{2} + 39 x - 18$

Schritt 3.2

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$3 x^{5}$

Schritt 3.3

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$3$

Schritt 4

Da der Leitkoeffizient positiv ist, steigt der Graph nach rechts an.

Positive

Schritt 5

Benutze den Grad der Funktion sowie das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Verhalten zu bestimmen.

1. Gerade und Positiv: Steigt nach links und rechts an.

2. Gerade und Negativ: Fällt nach links und nach rechts ab.

3. Ungerade und Positiv: Fällt nach links ab und steigt nach rechts an.

4. Ungerade und Negativ: Steigt nach links an und fällt nach rechts ab

Schritt 6

Bestimme das Verhalten.

Fällt nach links ab und steigt nach rechts an

Schritt 7