Algebra Beispiele

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ und deren Summe gleich $b = 31$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $31$ aus $31 u$ heraus.

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $31$ um als $- 1$ plus $32$

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $16 u - 1$ .

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

Schritt 2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.5

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.6

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 1$ .

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 4

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 5

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 6

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $x^{2} + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{2} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 2$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Schritt 6.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (2)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 6.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{2}$

Schritt 6.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$