Algebra Beispiele

$f (r) = 4 π r^{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (r) = 4 π r^{2}$ als Gleichung.

$y = 4 π r^{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$r = 4 π y^{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 π y^{2} = r$ um.

$4 π y^{2} = r$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 π y^{2} = r$ durch $4 π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 π y^{2} = r$ durch $4 π$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Schritt 3.2.2.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe $\frac{r}{4 π}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $r$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 π$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

Schritt 3.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{r}{π}}$ als $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ mit $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Schritt 3.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ mit $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Schritt 3.4.5.2

Potenziere $\sqrt{π}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Schritt 3.4.5.3

Potenziere $\sqrt{π}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Schritt 3.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Schritt 3.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{π}}^{2}$ als $π$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π}$ als $π^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Schritt 3.4.5.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

Schritt 3.4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ die Umkehrfunktion von $f (r) = 4 π r^{2}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (r) = 4 π r^{2}$ und $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{r π}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$r π \geq 0$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $r π \geq 0$ durch $π$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $r π \geq 0$ durch $π$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$r \geq 0$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $r$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ der Wertebereich von $f (r) = 4 π r^{2}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ der Definitionsbereich von $f (r) = 4 π r^{2}$ ist, ist $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ die inverse Funktion von $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Schritt 6