Algebra Beispiele

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \div (16 - 25 x^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30}}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot 12 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 19$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 19$ aus $- 19 x$ heraus.

$\frac{5 x^{2} - 19 (x) + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 19$ um als $- 4$ plus $- 15$

$\frac{5 x^{2} + (- 4 - 15) x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (5 x - 4) - 3 (5 x - 4)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 4$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x - 30$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x) - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $10$ aus $- 30$ heraus.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x + 10 \cdot - 3} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $10$ aus $10 x + 10 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - 25 x^{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - {(5 x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = 5 x$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - (5 x))}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{5 x - 4}{10}$ mit $\frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$ .

$\frac{5 x - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 x - 4$ und $4 - 5 x$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{- (- 5 x) - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{- (- 5 x) - 1 (4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 x) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Schritt 6.2.4

Schreibe $- (- 5 x + 4)$ als $- 1 (- 5 x + 4)$ um.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Schritt 6.2.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Schritt 6.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Schritt 6.2.7

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{10 (4 + 5 x)}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{10 (4 + 5 x)}$