Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ als Gleichung.

$y = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = x$ um.

$\frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = 7 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{{(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7} = 7 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}} = 7 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(7 x)}^{5}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${({(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(7 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(7 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y^{3} + 7)}^{1} = {(7 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y^{3} + 7 = {(7 x)}^{5}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(7 x)}^{5}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $7 x$ an.

$y^{3} + 7 = 7^{5} x^{5}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $7$ mit $5$ .

$y^{3} + 7 = 16807 x^{5}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = 16807 x^{5} - 7$

Schritt 3.6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{16807 x^{5} - 7}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $7$ aus $16807 x^{5} - 7$ heraus.

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Schritt 3.6.3.1

Faktorisiere $7$ aus $16807 x^{5}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5}) - 7}$

Schritt 3.6.3.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$y = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5}) + 7 (- 1)}$

Schritt 3.6.3.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (2401 x^{5}) + 7 (- 1)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 {(\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7})}^{5} - 1)}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ an.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{{({(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{7^{5}}) - 1)}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7^{5}}) - 1)}$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7^{5}}) - 1)}$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{7^{5}}) - 1)}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{7^{5}}) - 1)}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $7$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{16807}) - 1)}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2401$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Faktorisiere $2401$ aus $16807$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{2401 (7)}) - 1)}$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (2401 (\frac{x^{3} + 7}{2401 \cdot 7}) - 1)}$

Schritt 5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7}{7} - 1)}$

Schritt 5.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}$

Schritt 5.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7 - 1 \cdot 7}{7})}$

Schritt 5.2.9

Schreibe $\frac{x^{3} + 7 - 1 \cdot 7}{7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 7 - 7}{7})}$

Schritt 5.2.9.2

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3} + 0}{7})}$

Schritt 5.2.9.3

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{7 (\frac{x^{3}}{7})}$

Schritt 5.2.10

Kombiniere $7$ und $\frac{x^{3}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{\frac{7 x^{3}}{7}}$

Schritt 5.2.11

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.11.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{7 x^{3}}{7}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.11.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{\frac{7 x^{3}}{7}}$

Schritt 5.2.11.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

Schritt 5.2.11.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.2.12

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)})}^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe ${\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}}^{3}$ als $7 (2401 x^{5} - 1)$ um.

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$ als ${(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{3}{3}} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{({(7 (2401 x^{5} - 1))}^{\frac{3}{3}} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{((7 (2401 x^{5} - 1)) + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.1.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(7 (2401 x^{5} - 1) + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(7 (2401 x^{5}) + 7 \cdot - 1 + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.3

Mutltipliziere $2401$ mit $7$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5} + 7 \cdot - 1 + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5} - 7 + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16807 x^{5} - 7 + 7$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5} + 0)}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $16807 x^{5}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(16807 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Produktregel auf $16807 x^{5}$ an.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{16807^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $16807$ als $7^{5}$ um.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{{(7^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.7

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{7}$

Schritt 5.3.3.8

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.3.3.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x^{5 (\frac{1}{5})}}{7}$

Schritt 5.3.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x^{5 (\frac{1}{5})}}{7}$

Schritt 5.3.3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = \frac{7 x}{7}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{{(x^{3} + 7)}^{\frac{1}{5}}}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{7 (2401 x^{5} - 1)}$