Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1

Faktorisiere $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 2

Faktorisiere $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $5 x$ aus $10 x^{3} - 15 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $- 15 x$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

Schritt 6

Mutltipliziere $5$ mit $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

Schritt 7

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 1, x$

Schritt 8

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ .

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Schritt 8.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8.3

Setze $- 1$ für $x$ in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Setze $- 1$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Schritt 8.3.2.1.2

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Schritt 8.3.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Schritt 8.3.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

Schritt 8.3.2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

Schritt 8.3.2.2.5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

Schritt 8.3.2.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$\frac{25}{10}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $10$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (5)}{10}$

Schritt 8.3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Schritt 8.3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2}$

Schritt 8.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8.5

Setze $0$ für $x$ in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Setze $0$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Schritt 8.5.2

Vereinfache.

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Schritt 8.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.2.1.1

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Schritt 8.5.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Schritt 8.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Schritt 8.5.2.2.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.5.2.2.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

Schritt 8.5.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Schritt 8.5.2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

Schritt 8.5.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

Schritt 8.5.2.2.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

Schritt 8.5.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{16}{15}$

Schritt 8.6

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

Schritt 9