Algebra Beispiele

$\frac{3 x - 4}{x + 2} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{4}{3}$

$x = - 2$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x - 4}{x + 2}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 4}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (- 4) - 4}{(- 4) + 2} > 0$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $8$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (0) - 4}{(0) + 2} > 0$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $- 2$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3 (4) - 4}{(4) + 2} > 0$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $1.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Falsch

$x > \frac{4}{3}$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Falsch

$x > \frac{4}{3}$ Wahr

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > \frac{4}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 2 or x > \frac{4}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Schritt 12