Algebra Beispiele

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Schritt 1

Die Mutterfunktion ist die einfachste Form des gegebenen Funktionstypen.

$y = x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

Schritt 2.2

Addiere $4$ und $3$ .

$y = x^{2} + 4 x + 7$

Schritt 3

Nehme an, dass $y = x^{2}$ $f (x) = x^{2}$ ist und $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ ist $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Schritt 4

Die beschriebene Transformation ist von $f (x) = x^{2}$ nach $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Schritt 5

Ermittle die Scheitelform von $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

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Schritt 5.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 4 x + 7$ an.

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Schritt 5.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

Schritt 5.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Schritt 5.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{1}$

Schritt 5.1.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$d = 2$

Schritt 5.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 5.1.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 5.1.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Schritt 5.1.4.2.1.1.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Schritt 5.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 7 - 4$

Schritt 5.1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$e = 3$

Schritt 5.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 2)}^{2} + 3$ ein.

${(x + 2)}^{2} + 3$

Schritt 5.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Schritt 6

Die horizontale Verschiebung hängt vom Wert von $h$ ab. Die horizontale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x + h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach links verschoben.

$g (x) = f (x - h)$ – Der Graph ist um $h$ Einheiten nach rechts verschoben.

Horizontale Verschiebung: Linke $2$ Einheiten

Schritt 7

Die vertikale Verschiebung hängt vom Wert von $k$ ab. Die vertikale Verschiebung wird wie folgt beschrieben:

$g (x) = f (x) + k$ - Der Graph ist um $k$ Einheiten nach oben verschoben.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Vertikale Verschiebung: $3$ Einheiten nach oben

Schritt 8

Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt, wenn $g (x) = - f (x)$ .

Spiegelung an der x-Achse: Keine

Schritt 9

Der Graph wird an der y-Achse gespiegelt, wenn $g (x) = f (- x)$ .

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Schritt 10

Stauchen und Strecken hängt vom Wert von $a$ ab.

Wenn $a$ größer als $1$ ist: Vertikal gestreckt

Wenn $a$ zwischen $0$ und $1$ liegt: Vertikal gestaucht

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 11

Vergleiche und liste die Transformationen auf.

Mutterfunktion: $y = x^{2}$

Horizontale Verschiebung: Linke $2$ Einheiten

Vertikale Verschiebung: $3$ Einheiten nach oben

Spiegelung an der x-Achse: Keine

Spiegelung an der y-Achse: Keine

Vertikale Stauchung oder Streckung: Keine

Schritt 12