Algebra Beispiele

$\frac{5 + 3 i}{4 - 2 i}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{5 + 3 i}{4 - 2 i}$ mit der Konjugierten von $4 - 2 i$ , um den Nenner reell zu machen.

$\frac{5 + 3 i}{4 - 2 i} \cdot \frac{4 + 2 i}{4 + 2 i}$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Kombinieren.

$\frac{(5 + 3 i) (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $(5 + 3 i) (4 + 2 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (4 + 2 i) + 3 i (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 4 + 5 (2 i) + 3 i (4 + 2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 4 + 5 (2 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 + 5 (2 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{20 + 10 i + 3 i \cdot 4 + 3 i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 3 i (2 i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4

Multipliziere $3 i (2 i)$ .

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 6 i i}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 6 (i^{1} i)}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 6 (i^{1} i^{1})}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 6 i^{1 + 1}}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 6 i^{2}}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{20 + 10 i + 12 i + 6 \cdot - 1}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{20 + 10 i + 12 i - 6}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $20$ .

$\frac{14 + 10 i + 12 i}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $10 i$ und $12 i$ .

$\frac{14 + 22 i}{(4 - 2 i) (4 + 2 i)}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(4 - 2 i) (4 + 2 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 + 22 i}{4 (4 + 2 i) - 2 i (4 + 2 i)}$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 + 22 i}{4 \cdot 4 + 4 (2 i) - 2 i (4 + 2 i)}$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{14 + 22 i}{4 \cdot 4 + 4 (2 i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 4 (2 i) - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 2 i \cdot 4 - 2 i (2 i)}$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 8 i - 2 i (2 i)}$

Schritt 2.3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i i}$

Schritt 2.3.2.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i)}$

Schritt 2.3.2.6

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Schritt 2.3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 8 i - 8 i - 4 i^{2}}$

Schritt 2.3.2.9

Subtrahiere $8 i$ von $8 i$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 0 - 4 i^{2}}$

Schritt 2.3.2.10

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 - 4 i^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{14 + 22 i}{16 - 4 \cdot - 1}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{14 + 22 i}{16 + 4}$

Schritt 2.3.4

Addiere $16$ und $4$ .

$\frac{14 + 22 i}{20}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14 + 22 i$ und $20$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 (7) + 22 i}{20}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $22 i$ heraus.

$\frac{2 (7) + 2 (11 i)}{20}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (7) + 2 (11 i)$ heraus.

$\frac{2 (7 + 11 i)}{20}$

Schritt 3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $20$ heraus.

$\frac{2 (7 + 11 i)}{2 \cdot 10}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (7 + 11 i)}{2 \cdot 10}$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 + 11 i}{10}$

Schritt 4

Zerlege den Bruch $\frac{7 + 11 i}{10}$ in zwei Brüche.

$\frac{7}{10} + \frac{11 i}{10}$

Schritt 5

Um die komplex Konjugierte zu ermitteln, mache den Term mit $i$ negativ.

$\frac{7}{10} - \frac{11 i}{10}$