Algebra Beispiele

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Schritt 2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 4 x + 11)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x^{2} + 4 x + 11 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 4 x + 11 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x + 11 = 1$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 11 - 1 = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $1$ von $11$ .

$x^{2} + 4 x + 10 = 0$

Schritt 4.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Schritt 4.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.3

Subtrahiere $40$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $- 24$ als $- 1 (24)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (24)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{6}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{6}$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + i \sqrt{6}, - 2 - i \sqrt{6}$