Algebra Beispiele

$x + y^{2} = 4 y - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 y - 1 - y^{2}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache $4 y - 1 - y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Bewege $- 1$ .

$x = 4 y - y^{2} - 1$

Schritt 2.1.1.2

Stelle $4 y$ und $- y^{2}$ um.

$x = - y^{2} + 4 y - 1$

Schritt 2.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} + 4 y - 1$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = - 1$

Schritt 2.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 2.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$e = - 1 - (- 1 \cdot 4)$

Schritt 2.1.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 1 - - 4$

Schritt 2.1.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = - 1 + 4$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$e = 3$

Schritt 2.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y - 2)}^{2} + 3$ ein.

$- {(y - 2)}^{2} + 3$

Schritt 2.1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y - 2)}^{2} + 3$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 2$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{11}{4}, 2)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 2$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{13}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(3, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{13}{4}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(3, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{13}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 3.41421356)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 3.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $2 + \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 3.41421356$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 0.58578643)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 3.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $2 - \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 0.58578643$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (2) = 2 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (2) = 3$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$= 3$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{1}$

Schritt 3.4.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (2) = 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (2) = 2 - 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = 1$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(3, 2)$

Brennpunkt: $(\frac{11}{4}, 2)$

Symmetrieachse: $y = 2$

Leitlinie: $x = \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

Schritt 5