Algebra Beispiele

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 = 0$

Schritt 1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 4 u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$u = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 3.41421356$

${(x^{2})}^{1} = 0.58578643$

Schritt 7

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 3.41421356$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3.41421356}$

Schritt 8.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3.41421356}$

Schritt 8.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3.41421356}$

Schritt 8.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3.41421356}, - \sqrt{3.41421356}$

Schritt 9

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 0.58578643$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 0.58578643$

Schritt 10.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0.58578643}$

Schritt 10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{0.58578643}$

Schritt 10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{0.58578643}$

Schritt 10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{0.58578643}, - \sqrt{0.58578643}$

Schritt 11

Die Lösung von $x^{4} - 4 x^{2} + 2 = 0$ ist $x = \sqrt{3.41421356}, - \sqrt{3.41421356}, \sqrt{0.58578643}, - \sqrt{0.58578643}$ .

$x = \sqrt{3.41421356}, - \sqrt{3.41421356}, \sqrt{0.58578643}, - \sqrt{0.58578643}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{3.41421356}, - \sqrt{3.41421356}, \sqrt{0.58578643}, - \sqrt{0.58578643}$

Dezimalform:

$x = 1.84775906 \dots, - 1.84775906 \dots, 0.76536686 \dots, - 0.76536686 \dots$