Algebra Beispiele

$\frac{3 x - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 12$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 4}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 (x - 4)}{3 x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.3

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Schritt 1.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 16$ ist.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $- 16$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 (x) + 15}$

Schritt 1.6.1.2

Schreibe $- 16$ um als $- 6$ plus $- 10$

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15}$

Schritt 1.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15}$

Schritt 1.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15}$

Schritt 1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)}$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Ausdruck $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Schritt 1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 2 x - 5$

Schritt 2.2

Da $x, 2 x - 5$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $x, 2 x - 5$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $x^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $2 x - 5$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 2.8

Der Teiler von $2 x - 5$ ist $2 x - 5$ selbst.

$(2 x - 5) = 2 x - 5$

$(2 x - 5)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $2 x - 5$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$2 x - 5$

Schritt 2.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$x (2 x - 5)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$ mit $x (2 x - 5)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$ mit $x (2 x - 5)$ .

$\frac{x - 4}{x} (x (2 x - 5)) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x - 4}{x} (x (2 x - 5)) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x - 4) (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(x - 4) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $2 x - 5$ aus $x (2 x - 5)$ heraus.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} ((2 x - 5) x)$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} ((2 x - 5) x)$

Schritt 3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = (2 x + 3) x$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + 3 x$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1

Bewege $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 (x \cdot x) + 3 x$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} = 3 x$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 4.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- 13 x + 20 + 0 - 3 x = 0$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $- 13 x + 20$ und $0$ .

$- 13 x + 20 - 3 x = 0$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $3 x$ von $- 13 x$ .

$- 16 x + 20 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x = - 20$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x = - 20$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x = - 20$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 16$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 16}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $- 16$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 20$ heraus.

$x = \frac{- 4 (5)}{- 16}$

Schritt 4.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16$ heraus.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Schritt 4.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Schritt 4.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5}{4}$

Dezimalform:

$x = 1.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{4}$