Algebra Beispiele

${(x - 3)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Schritt 1

Subtrahiere ${(x - 3)}^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$y^{2} \leq 9 - {(x - 3)}^{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x - 3$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.3.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Schritt 3.2.1.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Schritt 3.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Schritt 3.2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Schritt 3.2.1.3.5

Addiere $3$ und $3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Schritt 4

Schreibe $| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$y \geq 0$

Schritt 4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $y$ nicht negativ ist.

$y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y \geq 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (- x + 6)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (- x + 6) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Vereinfache $x (- x + 6)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.3.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.1.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.1.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 4.3.1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 4.3.1.2.3.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Schritt 4.3.1.2.3.2

Faktorisiere $- x$ aus $6 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Schritt 4.3.1.2.3.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (- 6)$ heraus.

$- x (x - 6) = 0$

Schritt 4.3.1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3.1.2.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.1.2.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.3.1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 4.3.1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 4.3.1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.3.1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.9.1.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.3.1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.9.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.3.1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 4.3.1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Schritt 4.3.1.2.9.3.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.3.1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 4.3.1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 6$

Schritt 4.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, 6]$

Schritt 4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $y \geq 0$ und $[0, 6]$ .

$0 \leq y \leq 6$

Schritt 4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$y < 0$

Schritt 4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $y$ negativ ist.

$- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Schritt 4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ und ermittle die Schnittmenge mit $y < 0$ .

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Schritt 4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (- x + 6)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (- x + 6) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1

Vereinfache $x (- x + 6)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.1.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.1.2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 4.6.1.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 4.6.1.2.3.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Schritt 4.6.1.2.3.2

Faktorisiere $- x$ aus $6 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Schritt 4.6.1.2.3.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (- 6)$ heraus.

$- x (x - 6) = 0$

Schritt 4.6.1.2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 4.6.1.2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.6.1.2.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.6.1.2.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.6.1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 4.6.1.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 4.6.1.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 4.6.1.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.9.1.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.6.1.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.6.1.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.9.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 4.6.1.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 4.6.1.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Schritt 4.6.1.2.9.3.3

Die linke Seite $- 16$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 4.6.1.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 4.6.1.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq 6$

Schritt 4.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, 6]$

Schritt 4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < 0$ und $[0, 6]$ .

$Keine Lösung$

Schritt 4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{x (- x + 6)} & 0 \leq y \leq 6 \end{cases}$

Schritt 5

Bestimme die Schnittmenge von $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ und $0 \leq y \leq 6$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Schritt 6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Schritt 7